Desde que se lanzó el Cubo de Rubik, se ha burlado de casi quinientos millones de expertos que creen que pueden descifrar sus desconcertantes misterios, solo para verse bloqueados por sus enloquecedores secretos. Ahora, es hora de desempacar el rompecabezas de una vez por todas usando algunas matemáticas profundas. El interior literal de los cubos está hecho de plástico, pero sus entrañas reales no son más que números. Sumerjámonos.
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Romper los bloques
Comenzando con algunos conceptos básicos, un cubo de Rubik de 3x3x3 tiene seis caras, cada una de un color diferente. El centro de cada cara está unido al andamio central que mantiene unido el cubo, por lo que no se mueven más que girando en su lugar. Como resultado, los mismos colores siempre terminan opuestos entre sí; en un cubo estándar, el blanco es opuesto al amarillo, el rojo al naranja y el azul al verde.
Abre un cubo de Rubik y verás que está hecho de tres tipos de bloques de construcción. Primero, está ese andamio central, que conecta el centro de cada cara. Luego están los cubies, el apodo para los pequeños bloques 1x1x1. Los cubos de las esquinas tienen tres lados de colores y los cubos de los bordes tienen dos. Un cubo de Rubik tiene un núcleo, ocho cubos de esquina y 12 cubos de borde.
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La matemática inmediata que se debe hacer con esos números es el número total de formas en que puede mezclar un cubo de Rubik: 43,252,003,274,489,856,000. Escrito de una forma más matemática, ese número es (3 8 8!)(2 12 12!)/12. Así es como eso se une.
El primer término, 3 8, cuenta todas las formas en que se pueden rotar los cubos de ocho esquinas. Un cubo de esquina puede caber en su ranura girado de tres maneras diferentes. Eso es un factor de 3 para cada uno de los ocho cubos de las esquinas, por lo que se multiplican por 3 8 .
El siguiente es donde va cada cubo de esquina. Hay ocho ranuras de esquina, por lo que el primer cubo de esquina tiene ocho opciones. El segundo cubículo de la esquina queda con siete opciones, el siguiente con seis, y así sucesivamente, hasta el último cubículo de la esquina, que debe ir en la ranura de la última esquina. Eso produce el cálculo 8*7*6*5*4*3*2*1, que es 8! u ocho factorial.
Por lo tanto, el primer trozo, (3 8 8!), cuenta todas las formas en que los cubos de las esquinas pueden caber en el cubo. El 3 8 es sus orientaciones, mientras que el 8! es su ubicación.
El siguiente trozo, (2 12 12!), es la misma idea, ahora para los bordes. Los bordes solo tienen dos orientaciones, por lo que los 12 tienen un total de 2 12 combinaciones de orientaciones. Entonces hay 12 ubicaciones, ¡entonces 12! es el número de formas en que pueden ir a esos lugares.
Lo que queda de la fórmula (3 8 8!)(2 12 12!)/12 es esa división por 12. Se relaciona con un hecho sobre el cubo de Rubik que a menudo se siente, pero no siempre se entiende. Aquí hay un experimento mental (¡que quizás hayas hecho de verdad!) para ilustrarlo:
Suponga que abre un cubo de Rubik, quita cada cubo y luego vuelve a colocar todos los cubos en ranuras aleatorias (los cubos de las esquinas solo encajan en las esquinas y los cubos de los bordes solo en los bordes). Obtienes lo que parece un cubo revuelto normal, y hasta ahora hemos contado todas las formas en que podrías hacer esto, (3 8 8!)(2 12 12!). Ahora bien, ¿siempre es posible resolver este cubo desordenado sin romperlo?
La respuesta es no.
Esta es una trampa que ha atrapado a muchos cuberos novatos. Si estás practicando y quieres codificar un cubo resuelto, debes mantener el cubo intacto y codificarlo manualmente. Si lo desarmas y vuelves a armar los cubos al azar, en realidad solo hay una probabilidad de 1 en 12 de que se pueda resolver.
La respuesta está en los algoritmos
¿Quieres entender por qué eso es 1 en 12? Bueno, hay una buena forma visual de tener una idea de ello. Un cubo que se ha roto y vuelto a armar con sus cubos revueltos al azar tendrá las mismas posibilidades de ser resuelto por uno de los siguientes representantes.
Los lados naranja, amarillo y verde (que no se muestran) se resuelven como de costumbre. Dave Linkletter
Los hemos arreglado para distribuir los diferentes factores que conducen a 12. La fila 1 tiene esquinas normales. Las filas 2 y 3 tienen una esquina girada en su lugar. La columna 1 tiene bordes normales. La columna 2 tiene un borde volteado en su lugar. La columna 3 tiene dos bordes intercambiados. Finalmente, la columna 4 tiene un borde invertido más dos bordes intercambiados.
Entonces, los 12 cubos de la foto de arriba no se pueden transformar entre sí. Y no hay arreglo 13 que no pueda transformarse en uno de esos 12. ¿Cómo sabemos esto?
Aquí hay una conexión con lo que se puede y no se puede hacer moviendo las caras de los cubos. Los entusiastas de los cubos a menudo se refieren a una secuencia de movimientos como un algoritmo. Los algoritmos buscados son aquellos que mueven solo algunos de los cubos y dejan el resto intacto. Las limitaciones de los algoritmos son la clave de ese número 12.
Ese 12 se suma a partir de tres factores que se multiplican: 12 = 3*2*2. Necesitamos lidiar con un factor de 3 y dos factores de 2.
El factor de 3 se reduce a esto: hay un algoritmo que tuerce cada una de las dos esquinas diferentes, pero no hay un algoritmo que tuerza una sola esquina (sin mover todo lo demás). Entonces, si toma un cubo de Rubik normal, saca una sola esquina y la vuelve a torcer, se vuelve imposible de resolver y se habrá movido de la esquina superior izquierda de nuestro gráfico a uno de los puntos justo debajo.
Sin embargo, si repites ese proceso y giras una esquina más, no agrega un segundo factor de 3. Ahora que dos esquinas están torcidas, podemos aplicar el algoritmo que tuerce dos esquinas, hasta que al menos una esté fija. Si el otro se arregla en el proceso, tuvimos suerte y ahora volvimos a ser un cubo solucionable. En general, las orientaciones de las esquinas pueden ser de tres formas.
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El primer factor de 2 es similar. Hay un algoritmo que voltea, en su lugar, cada uno de los dos bordes diferentes, pero ningún algoritmo puede voltear un solo borde en su lugar. Por lo tanto, cualquier cantidad de bordes invertidos se puede reducir a un solo borde, que termina invertido o no, para dos posibilidades.
El último factor de 2 en realidad involucra bordes y esquinas, aunque lo mostramos en el gráfico con bordes. Hay un algoritmo que intercambia dos esquinas al mismo tiempo que intercambia dos bordes. No hay ningún algoritmo que pueda intercambiar solo un par de esquinas, ni solo un par de bordes.
Si tiene un cubo, extraiga dos bordes e intercámbielos, salta dos columnas en nuestro gráfico, ya sea entre las columnas 1 y 3, o entre las columnas 2 y 4. Lo mismo ocurre si intercambia un par de esquinas. Pero intercambiar un par de aristas y un par de esquinas se anulan entre sí, ya que hay un algoritmo para deshacer eso.
Con cada factor en esa división por 12 explicado, tienes la imagen completa en (3 8 8!)(2 12 12!)/12. Hay (3 8 8!)(2 12 12!) formas de poner los cubos en el cubo, pero solo una de cada 12 de ellas se puede maniobrar hasta un cubo resuelto. Entonces (3 8 8!)(2 12 12!)/12 es el número de formas en que puedes revolver un cubo de Rubik sin romperlo.
La prueba del cubo de Rubik Pop Mech
Ahora, si está pensando con curiosidad, podría desear pruebas para algunas de las afirmaciones de los últimos párrafos. ¿Hay alguna matemática más profunda que pueda probar que no hay un algoritmo que voltee un cubo de borde en su lugar sin mover ningún otro cubo? tu apuesta Así es como funciona esa prueba matemática:
Cuando se gira una cara del cubo, se mueven cuatro cubos de arista. Considere, por ejemplo, un algoritmo de 10 movimientos. Para cada cubo, sígalo a través del algoritmo, y cuente cuántas veces se mueve, y llame a eso su cuenta de movimientos de cubo. Sume esos números para cada cubo de borde, y el total debe llegar a 40 movimientos de cubo, ya que cada uno de los 10 movimientos suma cuatro al total.
En general, el número total de movimientos de cubo de cualquier algoritmo para los cubos de borde debe ser un múltiplo de 4. Ahora, un par de hechos críticos: si un cubo de borde se mueve un número par de veces y se devuelve a la misma ranura, tendrá la misma orientación. Por el contrario, si un cubo de borde se mueve un número impar de veces y se vuelve a colocar en la misma ranura, se volteará.
Y sí, ese par de hechos se pueden probar con matemáticas aún más profundas , pero dejemos de acercarnos desde aquí, en el nombre de este artículo que finalmente termina. También puede verificar los dos hechos experimentalmente y tener una idea de por qué son ciertos. (Para esta prueba, un giro de 180 grados cuenta como dos movimientos de cada cubo involucrado).
Finalmente, considere un algoritmo hipotético que logre el objetivo aquí, volteando un cubo de borde en su lugar sin cambiar ningún otro cubo. Por lo tanto, el borde invertido se movió un número impar de veces por el algoritmo, mientras que cada uno de los otros 11 bordes se movió un número par de veces. La suma de 11 números pares y un número impar siempre es impar, pero establecimos anteriormente que esta suma debe ser un múltiplo de 4. ¿Un número impar es un múltiplo de 4? Eso es imposible. Por lo tanto, no existe tal algoritmo.
Ahora ha explorado (3 8 8!)(2 12 12!)/12, el número de configuraciones del cubo, que, para un matemático que estudia el cubo, es solo preliminar. Para profundizar en las matemáticas, es posible que se pregunte una metapregunta común: ¿Hay preguntas de matemáticas sin responder en este tema?
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El número de Dios y más allá
El desafío original del cubo, por supuesto, fue resolverlo. Ern Rubik hizo su primer prototipo en 1974, ya principios de los seis años que tardó en verlo producido en masa, fue naturalmente la primera persona en resolver el cubo.
Cuando el cubo llegó a las tiendas de juguetes en 1980, algunos matemáticos ya habían estado experimentando con las primeras versiones durante algunos años. Uno de ellos fue el Dr. David Singmaster, quien escribió la famosa guía Notes on Rubiks Magic Cube y desarrolló un método de escritura para describir los giros de las caras de los cubos. Esa notación se ha convertido en el estándar y ahora se conoce como notación Singmaster.
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Si este fuera un artículo de la década de 1980, el trabajo de explicar la notación Singmaster y usarla para guiarlo a través de los algoritmos para resolver el cubo podría valer la pena. Muchos artículos hicieron precisamente eso. Pero ahora existen los tutoriales de Youtube , por lo que esa práctica está obsoleta.
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Los tiempos de solución más rápidos para el cubo de Rubik se han ido reduciendo a lo largo de las décadas. El récord mundial de un ser humano es actualmente de 3,47 segundos . La Dra. Jessica Fridrich, quien en 1997 desarrolló un método para resolver el cubo más rápido que nunca, fue fundamental para esta era de cubos rápidos. La mayoría de los solucionadores de cubos más rápidos en la actualidad utilizan alguna versión del método Fridrich.
A medida que algunas personas mejoraron su destreza, otras se concentraron en las preguntas matemáticas definitivas del cubo de Rubik. No importa cuán revuelto esté un cubo, ¿cuántos movimientos se pueden aplicar para resolverlo? Si alguien revolvió tu cubo usando 500 movimientos, ciertamente es posible descifrarlo en menos de 500 movimientos. ¿Pero cuántos menos?
Por lo tanto, se identificó el pináculo de las matemáticas en este tema: ¿Existe un número mágico que nos permita decir que cada cubo revuelto se puede resolver en tantos movimientos [o menos]? Gracias a las primeras bromas sobre la necesidad de la intervención divina para obtenerlo con confianza, ese número se conoció como el número de Dios.
La primera idea importante sobre el Número de Dios fue del Dr. Morwen Thistlethwaite en 1981, quien demostró que era como máximo 52. Eso significa que demostró que cada cubo revuelto se puede resolver en 52 movimientos o menos.
El progreso continuó durante las décadas de 1990 y 2000. Finalmente, en junio de 2010, un equipo de cuatro científicos demostró que el número de Dios es 20 . Ese sitio web, que los científicos han mantenido desde entonces, contiene el conocimiento más avanzado sobre el cubo de Rubik hasta la fecha.
Entonces, no importa cuán revuelto se vea un cubo de Rubik, siempre está a 20 pasos de resolverse.
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Solo quedan pequeños detalles matemáticos sin resolver para Rubiks Cube. Si bien el número de Dios es 20, se desconoce exactamente cuántas de las 43,252,003,274,489,856,000 combinaciones requieren un total de 20 movimientos para ser resueltas.
El número de posiciones que requieren exactamente un movimiento para resolverse es 18. Eso es fácil de calcular: hay seis caras y tres formas de torcer cada una. Cuántos cubos están exactamente a dos o tres movimientos de resolverse no es difícil de calcular para los matemáticos, pero puedes imaginar que los números más altos se vuelven complicados. El conocimiento actual sube a 15; sabemos exactamente cuántas posiciones faltan para resolver 15 movimientos, pero no exactamente cuántas para 16 a 20 movimientos.
Y esa es la última pregunta de matemáticas para el Cubo de Rubik. Ahora estás atrapado hasta que alguien contesta. Bueno, te avisaremos cuando lo hagamos.
DAVID HECKER Getty Images Dave Linkletter Dave Linkletter es Ph.D.